鐵磁材料在電子元件和電動(dòng)機(jī)械中無處不在。電磁建模的分析對(duì)象可以是各種廣泛的應(yīng)用，或是某種恰好具有磁性的材料特性（比如結(jié)構(gòu)鋼的力學(xué)阻力）。在這兩類情況中，鐵磁零件都會(huì)對(duì)其周圍的磁場(chǎng)造成影響，所以精確模擬鐵磁材料的影響對(duì)于設(shè)備或系統(tǒng)的正常運(yùn)行至關(guān)重要。

鐵磁材料的分類

分類是認(rèn)識(shí)不同材料呈現(xiàn)的各種磁性能的有效手段。最簡(jiǎn)單的一種分類體系如下：

弱磁性材料

可使外加磁場(chǎng)產(chǎn)生微弱變化（例如順磁性材料和抗磁性材料）

軟鐵

可有效集中外部磁通量，但本身不具有“固有”磁化強(qiáng)度（因此如果放在沒有磁場(chǎng)的區(qū)域中，軟體會(huì)退磁）

硬鐵，下文稱之為永磁體

即便沒有外加磁場(chǎng)也會(huì)產(chǎn)生磁通量

第 2 和第 3 類材料被稱為鐵磁體。

不過，這種分類并不像表面上那么簡(jiǎn)單，因?yàn)檐涜F和永磁體之間的界限未必如此清晰，而且某些特性是兩種類型所共有的。一種材料在無外部磁源時(shí)可能表現(xiàn)出微弱的磁化強(qiáng)度（類似于永磁體），但是，它的磁化強(qiáng)度也會(huì)因?yàn)橥饧哟艌?chǎng)而大大增強(qiáng)（類似于軟鐵）。

此外，有的材料會(huì)表現(xiàn)出滯回性能，也就是說，在應(yīng)用并移除外部載荷之后，它的磁性將變得與原先不同。外部載荷不一定指電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)，也有可能是物理位移（參照下方動(dòng)畫）。

綜上所述，在處理鐵磁材料時(shí)，我們需要描述各種截然不同的磁性能。在本篇博客文章中，我們將分析 COMSOL? 軟件的相關(guān)可用選項(xiàng)。

磁性本構(gòu)關(guān)系概述

磁性能的多樣性體現(xiàn)在各種不同的系統(tǒng)中（包括有利或不利影響），所以表征磁性能范圍的能力非常重要。

“AC/DC模塊”能夠通過下表第一列的八種預(yù)定義本構(gòu)關(guān)系，自動(dòng)添加所有類型的磁性能，它也允許用戶輸入自己用代碼編寫的外部材料。弱磁性材料的表征通常利用第一個(gè)選項(xiàng)——相對(duì)磁導(dǎo)率，這也是COMSOL Multiphysics? 軟件的系統(tǒng)默認(rèn)選項(xiàng)。

處理鐵磁材料則可能需使用另一種本構(gòu)關(guān)系。下表中的前四個(gè)選項(xiàng)適用于軟鐵，再往下四個(gè)則適用于永磁體。兩組均按照本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜程度進(jìn)行遞增排序：越靠后，磁化動(dòng)力學(xué)就需要通過更多特性來描述。

軟鐵或硬鐵模擬所使用的規(guī)律與所需的參數(shù)數(shù)量一覽。*“AC/DC 模塊案例庫(kù)”中的示例仿真 App可以基于標(biāo)準(zhǔn)的 B-H 曲線自動(dòng)計(jì)算等效 B-H 曲線的函數(shù)。歡迎閱讀已發(fā)布的博客文章，了解關(guān)于這類功能的更多信息。**外部磁性材料是 B-H 曲線的一個(gè)子選項(xiàng)。詳細(xì)信息請(qǐng)參閱關(guān)于訪問外部材料模型的博客文章。

下方八張繪圖解釋了上表中的各種本征關(guān)系在 B-H 平面中的典型動(dòng)力學(xué)特征。在 B-H 繪圖中，y軸表示磁通密度 B。磁通的解釋不存在太多模糊性，因?yàn)樗梢灾苯訙y(cè)量。x軸是磁場(chǎng) H 的量度。H 的解釋或許依賴于受分析系統(tǒng)的具體情況（下文的案例將解釋這一點(diǎn)）。

目前我們只考慮理想的磁路。磁路材料是一個(gè)長(zhǎng)度為 L 的圓環(huán)，由 N 匝載流為 I 的線圈均勻繞成。在此例中，H = N*I/L。根據(jù)應(yīng)用不同，制造商可能用這種設(shè)計(jì)（或另一種設(shè)計(jì)，例如愛波斯坦方圈）來展示 B-H 曲線。

下面，我們列舉了一些案例，大致介紹如何針對(duì)一些典型應(yīng)用中常見的磁性材料來使用這些條件。

軟鐵的適用規(guī)律

永磁體的適用規(guī)律

需要注意的是，我們沒有提到第一個(gè)表中的外部磁性選項(xiàng)。這是一個(gè)子選項(xiàng)，選定B-H 曲線本構(gòu)關(guān)系之后就可以顯示，它可用于模擬更多的通用磁力規(guī)律。一篇已發(fā)布的博客詳細(xì)介紹了一個(gè)相關(guān)案例。該選項(xiàng)通常適用于可能包含條件邏輯的定制磁滯模型。

上表討論的所有參數(shù)和函數(shù)均可能是模型中其他參數(shù)的函數(shù)。認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)極其重要，因?yàn)槲覀兛梢岳眠@一函數(shù)關(guān)系添加多物理場(chǎng)效應(yīng)，或者在處理材料非線性時(shí)擁有更多自由度。

在磁路的拓?fù)鋬?yōu)化教學(xué)模型的案例中，相對(duì)磁導(dǎo)率本構(gòu)關(guān)系被手動(dòng)添加了非線性依賴關(guān)系，由此使其表現(xiàn)與B-H 曲線完全相同。此案例表明，轉(zhuǎn)換本構(gòu)關(guān)系與在相對(duì)磁導(dǎo)率輸入框中寫入 murOfB(mf.normB) 一樣簡(jiǎn)單。這是一個(gè)實(shí)用技巧，因?yàn)榇艑?dǎo)率隨即被設(shè)為了 1-p^2+p^2*murOfB(mf.normB)，所以規(guī)律描述的是p為 0 的區(qū)域內(nèi)的空氣和p為 1 區(qū)域內(nèi)的軟鐵（模型中p是根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化而變化的函數(shù)。請(qǐng)注意，正如模型文檔所解釋，輸入 normB 的函數(shù)時(shí)還需要進(jìn)行其他操作，以避免收斂問題。模型中“將復(fù)數(shù)變量拆分成實(shí)部和虛部”的選項(xiàng)處于開啟狀態(tài)）。

感應(yīng)加熱是設(shè)置磁導(dǎo)率函數(shù)的另外一個(gè)實(shí)用用途。在此類情況中，材料超過了居里溫度。這時(shí)，通常將磁導(dǎo)率設(shè)為形如 1+f(T)*(mur(normB)-1) 的函數(shù)，其中，f(T) 函數(shù)在低溫時(shí)從 1 開始不斷降低，達(dá)到居里溫度時(shí)降為 0（高于居里溫度互仍為 0）。在精確模擬鋼的多個(gè)感應(yīng)加熱過程（比如淬火）時(shí)，需要采用此方法。更普遍的做法是，從文獻(xiàn)或者數(shù)據(jù)表中獲取很多 B-H 參數(shù)與溫度的函數(shù)依賴關(guān)系，然后使用相同的方法將它們插入仿真中。

盡管很多參數(shù)在表格中被稱為“標(biāo)量”或“函數(shù)”，但它們可能是“張量”，或是由一組函數(shù)來填充矢量或張量。認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)很重要，因?yàn)榇判员举|(zhì)上是一個(gè)矢量。實(shí)際上，對(duì)于第一張表中的所有特性，“AC/DC 模塊”提供了完整模擬各向異性材料的選項(xiàng)。矢量磁滯教學(xué)模型中討論了相關(guān)的案例，該模型采用了各向異性的 Jiles-Atherton 材料，并重現(xiàn)了已發(fā)表的數(shù)據(jù)。

磁場(chǎng)的矢量性質(zhì)對(duì)于模擬移動(dòng)的磁力機(jī)械至關(guān)重要。下面的動(dòng)畫展示了旋轉(zhuǎn)機(jī)械仿真中的磁通密度，外部域是參照 Jiles-Atherton 磁滯模型來描述的。左側(cè)是旋轉(zhuǎn)中的磁滯域，右側(cè)是旋轉(zhuǎn)中的內(nèi)部磁體。對(duì)比左圖的任意一點(diǎn)與右圖中相應(yīng)的點(diǎn)，矢量 B 和 H 的所有分量都遵循旋轉(zhuǎn)矢量必須滿足的轉(zhuǎn)換。右側(cè)動(dòng)畫是結(jié)果是左側(cè)動(dòng)畫的剛性旋轉(zhuǎn)結(jié)果。

旋轉(zhuǎn)機(jī)械的磁通量，其中磁滯材料表明矢量性質(zhì)是準(zhǔn)確的，所以磁場(chǎng)源（左圖）坐標(biāo)系和磁滯域（右圖）坐標(biāo)系內(nèi)的局部場(chǎng)完全一致。

利用 COMSOL Multiphysics? 模擬鐵磁材料

下面，我們通過一個(gè)示例展示，當(dāng)模擬同一鐵磁材料在不同工藝流程中的特性時(shí)，可以采用的不同規(guī)律。這里的假設(shè)前提是：只有一組有限的可檢索的典型材料信息可用。

在此示例中，我們模擬一個(gè)如下圖所示的磁路。紅色區(qū)域代表一塊非線性軟鐵，被表征為不明顯的剩余通量和磁滯 B-H 曲線（來自“AC/DC模塊”的“材料庫(kù)”中可用的軟鐵材料：彎頭在大約 5400[A/m] 時(shí)達(dá)到 1.5[T]）。藍(lán)色區(qū)域代表纏繞在軟鐵芯上的線圈。綠色區(qū)域表示我們計(jì)劃利用不同規(guī)律進(jìn)行分析的對(duì)象，它可以是初始時(shí)沒有磁化的鋁鎳鈷合金元件。

磁路的幾何結(jié)構(gòu)，它包含軟鐵（紅色）、線圈（藍(lán)色）和類似于鋁鎳鈷合金的材料（綠色）。開始時(shí)合金棒沒有磁性，線圈通電后被磁化，被從磁路中抽出后（箭頭方向）就會(huì)退磁。

我們可以對(duì)四種不同工作條件下的磁路進(jìn)行仿真：

由于線圈通電，鋁鎳鈷合金元件從無磁狀態(tài)向磁化狀態(tài)轉(zhuǎn)變

由于步驟 1 對(duì)線圈通電，鋁鎳鈷合金元件被磁化，甚至在線圈斷電后，仍然保持最大的磁化強(qiáng)度

在步驟 2 最后，磁化的鋁鎳鈷合金元件被從鐵芯中拔出，因此部分退磁

磁化的鋁鎳鈷合金元件被放回磁路中，基本上保持了被從磁路抽出時(shí)的低磁性剩余通量

我們或許會(huì)想調(diào)整整個(gè)周期的本構(gòu)關(guān)系。這一操作確實(shí)可行，但通常需要鐵芯廠商專門進(jìn)行特殊的獨(dú)立測(cè)量。例如，我們應(yīng)該不難知道完全磁化材料的 H 值，以及對(duì)應(yīng)的剩余通量和退磁曲線。

在此例中，假設(shè)我們已知外加的 30[kA/m] 磁場(chǎng)達(dá)到了磁飽和，B-H 平面第二象限的（單軸）退磁曲線記錄在下方表格中。曲線從 H = 0 處的剩余通量 Br 開始，在（負(fù)值）矯頑磁場(chǎng)的 Hc 處 B = 0。需要注意的是。表中記錄的數(shù)據(jù)精確地表征了 COMSOL Multiphysics “AC/DC 模塊”的“材料庫(kù)”中的可退磁非線性磁體材料。

如果您希望導(dǎo)入自己的數(shù)據(jù)，請(qǐng)查閱軟件內(nèi)置的案例材料。需要注意的是，您需要提供矯頑磁場(chǎng) Hc和適當(dāng)放置的退磁曲線?？紤]到初始的曲線跨越了第二象限，曲線應(yīng)沿H軸平移 abs(Hc)。操作后，輸入的 B-H 曲線將從 (0,0) 開始，在 abs(Hc) 值處剩余通量密度達(dá)到 Br。更多操作指導(dǎo)請(qǐng)查閱AC/DC Module User’s Guide。

“AC/DC模塊”的“材料庫(kù)”中可用的可退磁非線性永磁體材料的第二象限 B-H 曲線數(shù)據(jù)。

四個(gè)過程中鋁鎳鈷合金元件中心的磁通密度水平分量的軌跡如下圖所示。不同顏色代表不同的階段：

藍(lán)色曲線：與電流饋電相關(guān)（該步驟從左開始，始于 H = 0 處，無電流；在右側(cè)很遠(yuǎn)處達(dá)到最大磁化強(qiáng)度）

綠色曲線：與斷開電流的過程相關(guān)（從右側(cè)很遠(yuǎn)處開始；在左邊 H = 0 處磁通密度達(dá)到有限值，此時(shí)線圈中沒有電流流經(jīng)）

紅色曲線：與由于被從磁路中取出而導(dǎo)致的退磁過程相關(guān)；與上表中的數(shù)據(jù)完全相同

藍(lán)綠色曲線：重新將磁體插回磁路中；此過程從左邊開始（整個(gè)磁體脫離磁路），在右邊結(jié)束（磁體完全位于磁路內(nèi)）

四個(gè)階段過程中鋁鎳鈷合金中心的磁通密度的水平分量。

下方視頻展示了向鋁鎳鈷合金元件施加條件，這些條件生成了上圖中的軌跡。

值得注意的是，這些仿真都非常簡(jiǎn)單，均為穩(wěn)健的參數(shù)化穩(wěn)態(tài)仿真，而且最終始于之前的求解結(jié)果。利用這種設(shè)置，開發(fā)相同的三維模型或者更復(fù)雜的幾何形狀都可以變得很簡(jiǎn)單。如上文所述，我們使用了之前的求解數(shù)據(jù)來關(guān)聯(lián)不同區(qū)域的特性。這解釋了為什么上方的曲線圖中存在細(xì)微的不連續(xù)。

我們可以對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整，使過程精準(zhǔn)地連續(xù)在一起，但是區(qū)分最終的附加參數(shù)可能需要更多信息和測(cè)量數(shù)據(jù)。通過這些操作步驟，我們發(fā)現(xiàn)測(cè)量值或許不是必要信息，利用通常可用的材料數(shù)據(jù)也可以獲取合理的求解結(jié)果。

回顧上方曲線圖中的磁滯回線，我們可以對(duì)x軸代表的物理量做個(gè)記錄。對(duì)于步驟 1 和 2 中的x軸，我們自然會(huì)將它理解為與驅(qū)動(dòng)電流成正比的物理量。在步驟 3 和 4 中，線圈內(nèi)沒有電流，磁場(chǎng)依賴于元件的空間位移。因此很難毫不猶豫地判斷應(yīng)該在 x 軸上應(yīng)用哪一個(gè)物理量。在步驟 3 中，我們使用了內(nèi)置變量 axialH。在步驟 4 中，我們采用了與磁路之間的歸一化位移。這些不同的定義對(duì)于解釋 B-H 曲線很重要，它可以幫您在創(chuàng)建繪圖時(shí)摸清研究者的意圖（也就是說使用哪個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置）。

本例清楚表明，我們可以在不同的研究中替換成不同的本構(gòu)關(guān)系，針對(duì)這些本構(gòu)關(guān)系的特性，我們可以根據(jù)之前計(jì)算結(jié)果中的變量寫入任何表達(dá)式。為了不陷入復(fù)雜的討論，所以我們?cè)诒疚闹胁捎昧俗詈?jiǎn)單的方法。至于更先進(jìn)和精密的鋁鎳鈷合金元件被從磁路中取出和再插入的三維模型，可以查閱自退磁模型。該模型為磁體的再插入過程添加了一個(gè)局部的線性反沖模型。

結(jié)論

在本篇文章中，我們分析了 COMSOL Multiphysics 和“AC/DC 模塊”中各種模擬磁性材料的選項(xiàng)。我們首先闡述了磁學(xué)的基本原理，并提供了一組條件，指明了與每一條規(guī)律相適應(yīng)的真實(shí)材料和裝置。我們還討論了多物理場(chǎng)模擬功能以及更高級(jí)條件的應(yīng)用方法。

即使如此，在選擇本構(gòu)規(guī)律時(shí)，我們僅僅淺顯地觸及一小部分重要考慮因素。我們建議您參考原文末尾的拓展資源，歡迎聯(lián)系我們獲取更多關(guān)于軟件的信息。