傅里葉變換的公式為：

可以把傅里葉變換也成另外一種形式：

可以看出，傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，三角函數(shù)是完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)的之間的內(nèi)積為0，只有頻率相等的三角函數(shù)做內(nèi)積時(shí)，才不為0。

下面從公式解釋下傅里葉變換的意義

因?yàn)楦道锶~變換的本質(zhì)是內(nèi)積，所以f(t)和求內(nèi)積的時(shí)候，只有f(t)中頻率為ω的分量才會(huì)有內(nèi)積的結(jié)果，其余分量的內(nèi)積為0。可以理解為f(t)在上的投影，積分值是時(shí)間從負(fù)無窮到正無窮的積分，就是把信號(hào)每個(gè)時(shí)間在ω的分量疊加起來，可以理解為f(t)在上的投影的疊加，疊加的結(jié)果就是頻率為ω的分量，也就形成了頻譜。

傅里葉逆變換的公式為：

下面從公式分析下傅里葉逆變換的意義

傅里葉逆變換就是傅里葉變換的逆過程，在F(ω)和求內(nèi)積的時(shí)候，F(xiàn)(ω)只有t時(shí)刻的分量內(nèi)積才會(huì)有結(jié)果，其余時(shí)間分量內(nèi)積結(jié)果為0，同樣積分值是頻率從負(fù)無窮到正無窮的積分，就是把信號(hào)在每個(gè)頻率在t時(shí)刻上的分量疊加起來，疊加的結(jié)果就是f(t)在t時(shí)刻的值，這就回到了我們觀察信號(hào)最初的時(shí)域。

對一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，然后直接做逆變換，這樣做是沒有意義的，在傅里葉變換和傅里葉逆變換之間有一個(gè)濾波的過程。將不要的頻率分量給濾除掉，然后再做逆變換，就得到了想要的信號(hào)。比如信號(hào)中摻雜著噪聲信號(hào)，可以通過濾波器將噪聲信號(hào)的頻率給去除，再做傅里葉逆變換，就得到了沒有噪聲的信號(hào)。

優(yōu)點(diǎn)：頻率的定位很好，通過對信號(hào)的頻率分辨率很好，可以清晰的得到信號(hào)所包含的頻率成分，也就是頻譜。

缺點(diǎn)：因?yàn)轭l譜是時(shí)間從負(fù)無窮到正無窮的疊加，所以，知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時(shí)間定位。不能判斷某一時(shí)間段的頻率成分。

例子：

平穩(wěn)信號(hào)：

傅里葉變換的結(jié)果：

由于信號(hào)是平穩(wěn)信號(hào)，每處的頻率都相等，所以看不到傅里葉變換的缺點(diǎn)。

對于非平穩(wěn)信號(hào)：信號(hào)是余弦信號(hào)，仍然有四個(gè)頻率分量

傅里葉變換的結(jié)果：

由上圖看出知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時(shí)間定位。不能判斷某一時(shí)間段的頻率成分。

短時(shí)傅里葉變換

傅里葉變換存在著嚴(yán)重的缺點(diǎn)，就是不能實(shí)現(xiàn)時(shí)頻聯(lián)合分析。傅里葉變換要從負(fù)無窮計(jì)算到正無窮，這在實(shí)際使用當(dāng)中，跟即時(shí)性分析會(huì)有很大的矛盾。根據(jù)這一缺點(diǎn)，提出了短時(shí)傅里葉變換。后來的時(shí)間—頻率分析也是以短時(shí)傅里葉變換為基礎(chǔ)提出的。

為了彌補(bǔ)傅里葉變換的缺陷，給信號(hào)加上一個(gè)窗函數(shù)，對信號(hào)加窗后計(jì)算加窗后函數(shù)的傅里葉變換，加窗后得到時(shí)間附近的很小時(shí)間上的局部譜，窗函數(shù)可以根據(jù)時(shí)間的位置變化在整個(gè)時(shí)間軸上平移，利用窗函數(shù)可以得到任意位置附近的時(shí)間段頻譜，實(shí)現(xiàn)了時(shí)間局域化。

短時(shí)傅里葉變換的公式為：

在時(shí)域用窗函數(shù)去截信號(hào)，對截下來的局部信號(hào)作傅立葉變換，即在t時(shí)刻得該段信號(hào)得傅立葉變換，不斷地移動(dòng)t，也即不斷地移動(dòng)窗函數(shù)的中心位置，即可得到不同時(shí)刻的傅立葉變換，這樣就得到了時(shí)間—頻率分析。

短時(shí)傅里葉變換的本質(zhì)和傅里葉變換一樣都是內(nèi)積，只不過用代替了，實(shí)現(xiàn)了局部信號(hào)的頻譜分析。

短時(shí)傅里葉變換的另一種形式：

該式子表明在時(shí)域里加窗函數(shù)，得出在頻域里對加窗。

優(yōu)點(diǎn)：在傅里葉變換的基礎(chǔ)上，增加了窗函數(shù)，就實(shí)現(xiàn)了時(shí)間—頻率分析。

缺點(diǎn)：短時(shí)傅里葉變換使用一個(gè)固定的窗函數(shù)，窗函數(shù)一旦確定了以后，其形狀就不再發(fā)生改變，短時(shí)傅里葉變換的分辨率也就確定了。如果要改變分辨率，則需要重新選擇窗函數(shù)。短時(shí)傅里葉變換用來分析分段平穩(wěn)信號(hào)或者近似平穩(wěn)信號(hào)猶可，但是對于非平穩(wěn)信號(hào)，當(dāng)信號(hào)變化劇烈時(shí)，要求窗函數(shù)有較高的時(shí)間分辨率；而波形變化比較平緩的時(shí)刻，主要是低頻信號(hào)，則要求窗函數(shù)有較高的頻率分辨率。短時(shí)傅里葉變換不能兼顧頻率與時(shí)間分辨率的需求。測不準(zhǔn)原理告訴我們，不可能在時(shí)間和頻率兩個(gè)空間同時(shí)以任意精度逼近被測信號(hào)，因此就必須在信號(hào)的分析上對時(shí)間或者頻率的精度做取舍。短時(shí)傅里葉變換受到測不準(zhǔn)原理的限制，所以短時(shí)傅里葉變換窗函數(shù)的時(shí)間與頻率分辨率不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。在實(shí)際使用時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況選用合適的窗函數(shù)。

例子：

原始信號(hào)：信號(hào)是余弦信號(hào)，有四個(gè)頻率分量.

當(dāng)窗函數(shù)選為：

短時(shí)傅里葉變換為：

由上圖可以看出，時(shí)域的分辨率比較好，但是頻率出現(xiàn)一定寬度的帶寬，也就是說頻率分辨率差；

當(dāng)窗函數(shù)選擇為：

短時(shí)傅里葉變換為：

由上圖可以看出，頻率的分辨率比較好，但是時(shí)域分辨率差，有點(diǎn)接近傅里葉變換。由上圖可以看到短時(shí)傅里葉變換的缺點(diǎn)。

來源：道客巴巴《傅里葉變換本質(zhì)及其公式解析》，由cuyongo69615分享

審核編輯：湯梓紅