一、關(guān)于IIR數(shù)字濾波器

當(dāng)然關(guān)于IIR濾波器的知識，想必大家在教材上都已經(jīng)很熟了，這里我就簡單說一下自己的理解好了。

正如前面說的，IIR數(shù)字濾波器，即無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器。所謂無限長單位脈沖響應(yīng)，也就是說，對于一個系統(tǒng)，我們給其輸其激勵，在輸出端得到的一串序列hn是無限長的，又因為我們討論的都是因果系統(tǒng)，即只考慮n大于零的部分，所以，hn可以表示為0《= hn 《 無窮大。

前面還說了，IIR區(qū)別于FIR濾波器的還一個特點(diǎn)就是他的反饋結(jié)構(gòu)，即IIR濾波器的輸出，不僅與輸入激勵有關(guān)，還與當(dāng)前的輸出值也有關(guān)，用差分方程來表示就是

根據(jù)這個差分方程可以看出：

1、跟FIR濾波器的差分方程進(jìn)行對比的話會發(fā)現(xiàn)，IIR濾波器的差分方程等式右邊的前半部分跟FIR濾波器的差分方程類似，都是對輸入信號進(jìn)行的卷積運(yùn)算，只不過FIR濾波器是將輸入信號與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)進(jìn)行卷積，而這里是輸入信號跟IIR濾波器的零點(diǎn)系數(shù)進(jìn)行卷積

2、后半部分是IIR濾波器的極點(diǎn)部分，也可以看做是一個N階的FIR濾波器，運(yùn)算對象是系統(tǒng)的輸出信號的一部分與極點(diǎn)系數(shù)的一部分。

3、因此，IIR濾波器的輸出就可以看成是 兩個FIR濾波器的運(yùn)算，即

ao即Y（n）的系數(shù)

然而IIR濾波器的表示形式還有一種方式，就是我們常說的系統(tǒng)函數(shù)，即對差分方程中的輸入輸出進(jìn)行Z變換，并通過移位運(yùn)算得到H（z），而它也就是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的Z變換

二、關(guān)于零極圖

我們知道，系統(tǒng)函數(shù)的分子分母都是一個乘加多項式，既然這樣，分子分母就可以進(jìn)行因式分解，也就是我們書本上的系統(tǒng)的零極點(diǎn)表達(dá)式

零極圖的作用可不小，既然我們?yōu)V波器的系統(tǒng)函數(shù)完全可以用零極點(diǎn)來表示，也就是說，我們?yōu)V波器的性質(zhì)，也可以通過零極圖來分析，比如可以通過零極圖來看系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的形狀，系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性之類的

1、零極圖與單位脈沖響應(yīng)

看上面這張圖，現(xiàn)在假如有個IIR數(shù)字濾波器，假設(shè)只有一個極點(diǎn)，極點(diǎn)位置的不同會導(dǎo)致濾波器單位脈沖響應(yīng)形狀的不同，總結(jié)如下：

1、極點(diǎn)在單位圓內(nèi)時，單位脈沖響應(yīng)的形狀呈下降收斂狀，極點(diǎn)在單位圓上時，單位脈沖響應(yīng)的形狀呈直線狀，極點(diǎn)在單位圓外時，單位脈沖響應(yīng)的形狀呈上升發(fā)散狀，且離單位圓越遠(yuǎn)，放大倍數(shù)越大

2、單位脈沖響應(yīng)的形狀主要是由濾波器的極點(diǎn)位置決定，零點(diǎn)位置主要是影響單位脈沖響應(yīng)的幅度特性和相位特性（上圖中雖然沒有畫出零點(diǎn)，大家可以通過matlab仿真總結(jié)出這條結(jié)論）

2、零極圖與濾波器的因果性，穩(wěn)定性

通過教材我們已經(jīng)知道了，我們所研究的都是因果系統(tǒng)，而因果系統(tǒng)的收斂域不包括任何一個極點(diǎn)。為什么呢？因為極點(diǎn)是導(dǎo)致系統(tǒng)函數(shù)趨于無窮大的點(diǎn)，一旦收斂域包含了極點(diǎn)，那就會導(dǎo)致系統(tǒng)函數(shù)不收斂，因此，因果系統(tǒng)的收斂域必須大于離單位圓原點(diǎn)最遠(yuǎn)的那個極點(diǎn)，也就是說，只要知道了一個因果系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，那么他的收斂域也就已經(jīng)確定了。假如定義一個系統(tǒng)的極點(diǎn)分別為 ： 1 ，-2，0.5，-3，那么這個系統(tǒng)的收斂域就是 z 》 3.

關(guān)于穩(wěn)定性問題，我們知道，只有當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓的時候，單位脈沖響應(yīng)絕對可和，這時候系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，又由于之前說的因果性， 系統(tǒng)函數(shù)的收斂域不能包含任何一個極點(diǎn)，因此我們知道，只有當(dāng)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的時候才符合要求，因此，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)成了系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。

三、關(guān)于IIR濾波器的設(shè)計方法

其實，我們書本上介紹的什么脈沖響應(yīng)不變法，雙線性變換法之類的設(shè)計方法，設(shè)計過程都太過于繁瑣，想必大家都深有體會，可能原理不是很難理解，但是真正讓我們?nèi)ナ謩尤ニ阋粋€題，還不知道要算到什么時候。但是matlab為我們提供好了設(shè)計函數(shù)，我們甚至不需要知道那些變換方法，也可以設(shè)計出符合要求的濾波器。但是，書本上既然寫了，總有他寫這些東西的目的，可能我們實在不好理解他的運(yùn)算過程，但是也要大體上知道這回事，畢竟人家是當(dāng)時的科學(xué)巨匠的畢生心血，哪有那么好懂~是吧，我們只要是會用就不錯了，下面就簡單總結(jié)一下這幾種方法：

IIR數(shù)字濾波器都是經(jīng)過低通模擬濾波器變換而來的，因為模擬濾波器的理論已經(jīng)很成熟了，而且有大量的數(shù)據(jù)供我們直接使用，比如巴特沃斯濾波器的設(shè)計過程，已經(jīng)給我提供好了求最小濾波器階數(shù)和零極點(diǎn)的公式，只要我們將濾波器指標(biāo)帶進(jìn)去計算就好了。

至于這些公式怎么來的，說實話我也看不懂，只知道是一大片數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)而來，很多朋友一看到這群數(shù)學(xué)公式肯定就迷糊了，甚至是失去了學(xué)習(xí)的興趣了，太過繁瑣的數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，使得我們的教材變得枯燥無味，我是過來人我深有體會，雖然這樣的教材很嚴(yán)謹(jǐn)，但是卻抹殺了學(xué)生的積極性，并沒有取得好的教學(xué)目的，其實還是感覺那句老話說的對“高手在民間啊”，很多一些不出名的關(guān)于信號處理的書，卻硬是把信號處理這門課寫的生動有趣，讓人一讀便懂，甚至有種豁然開朗的感覺。再反觀我們使用的教材，雖然獲得了什么什么教學(xué)獎，然而感覺并沒有真正站在學(xué)生的角度在寫這本書，學(xué)生看到只是大片的數(shù)學(xué)公式，也就喪失了信心了。

常用的模擬濾波器設(shè)計模型大概有這幾種，巴特沃斯濾波器，切比雪夫濾波器、和橢圓濾波器，這幾個濾波器都模擬低通濾波器，要想得到其他類型的濾波器，需要經(jīng)過變換，然而這幾種提供了詳細(xì)的設(shè)計資料，有了這些資料，我們就能通過變換將其變換為我們需要的其他類型的數(shù)字濾波器。

例如，我想設(shè)計一個IIR帶通濾波器，根據(jù)需要

1、 我需要先確定濾波器指標(biāo)，主要包括通帶最大衰減，阻帶最小衰減，通帶截止頻率，阻帶截止頻率

2、有了這4個模擬帶通濾波器的指標(biāo)，我們可以用頻率變換公式將這4個指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)模擬低通濾波器的指標(biāo)。

3、有了低通濾波器的指標(biāo)，就可以根據(jù)經(jīng)典濾波器的資料，設(shè)計成相應(yīng)的模擬低通濾波器。

4、 對模擬低通濾波器進(jìn)行頻率變換，得到我們想要的模擬帶通濾波器

5、最后可以通過脈沖響應(yīng)不變法或者雙線性變換法，得到我們需要的數(shù)字帶通濾波器

下面就總結(jié)一下這兩種變換方法

脈沖響應(yīng)不變法

上面說了，需要通過脈沖響應(yīng)不變法或者雙線性變換法將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換為我們需要的數(shù)字帶通濾波器。既然是模擬濾波器，也就是說，是單位脈沖響應(yīng)ht的拉普拉斯變換，如果對模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行逆拉普拉斯變換就可以得到ht，有了ht，再通過抽樣不就可以轉(zhuǎn)化為hn了嘛，所以，脈沖響應(yīng)不變法可以總結(jié)如下：

1、對模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行逆拉普拉斯變換得到時域上連續(xù)的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)ht

2、對ht進(jìn)行n點(diǎn)等間隔抽樣，得到時域上離散的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)hn

3、對hn進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（Z）

需要注意的是，在對時域上連續(xù)信號進(jìn)行等間隔抽樣的時候，我們知道，時域抽樣等同于頻域的周期延拓，如果不滿足一定的條件，就會導(dǎo)致信號的頻域混疊 ，而這個條件，就是我們采樣定理所給出的，即必須得保證模擬濾波器的帶寬是有限帶寬，并且采樣頻率fs 》 2fmax.

看下面這張圖我來解釋一下

這里我來解釋一下采樣定理，假如有一個帶限模擬信號，他的時域和頻域波形如圖第一排所示，可以看到在頻域，他的帶寬為2Ωmax，即最大角頻率為Ωmax

而Ωmax= 2πfmax，這里的fmax是模擬頻率，單位是hz，跟角頻率不同

現(xiàn)在用一個頻率為fs的信號對原模擬信號在時域進(jìn)行等間隔抽樣，采樣信號在頻域的波形如圖第二排所示，角頻率Ωs = 2πfs，是一個周期為Ωs的周期信號

圖上第三排是模擬信號經(jīng)采樣后的時域波形與頻域波形，時域波形很直觀，就是由連續(xù)信號變?yōu)榱穗x散信號，頻域波形變成了原模擬信號波形的周期延拓，周期為2π

大家知道，在數(shù)字頻域，角頻率w = Ω / fs ，所以我們看到在Ωs的正下方對應(yīng)的是2π，數(shù)字頻域0到2π之間對應(yīng)的當(dāng)然就是π，而這里的π對應(yīng)的模擬頻率，當(dāng)然就是fs/2，而數(shù)字頻域的wmax 則對應(yīng) Ωmax / fs ，即 wmax = 2πfmax / fs

所以，要想保證經(jīng)采樣后的信號的頻譜不發(fā)生頻率混疊，就必須要保證wmax 《 π

因此推得 fs 》 2fmax

正是因為如此，脈沖響應(yīng)不變法只能用來設(shè)計低通和帶通濾波器，不能設(shè)計高通和帶阻濾波器，因為后兩者在數(shù)字頻域π處均存在頻譜分量

雙線性變換法

雙線性變化法相對于脈沖響應(yīng)不變法適應(yīng)性更強(qiáng)，不存在混疊失真的情況，但是計算過程也是相當(dāng)?shù)膹?fù)雜，具體過程其實書上都有寫，只不過就是太過繁瑣，讓人看得不爽。好在matlab為我們提供了設(shè)計好的函數(shù)，matlab工具箱里的函數(shù) butter ellip cheby1 cheby2 等函數(shù)都是基于雙線性變換法來設(shè)計的函數(shù)，可以直接將跳過復(fù)雜的設(shè)計過程，由我們制定的濾波器指標(biāo)直接生成數(shù)字濾波器的零極點(diǎn)系數(shù)。

既然這樣，我們之前還那么多廢話干什么？直接講matlab設(shè)計不就好了？其實并不是這樣，知識是一個體系，只有有了前面的知識做鋪墊，才能為以后的設(shè)計打下基礎(chǔ)，要不然只會調(diào)用matlab函數(shù)，不懂為什么這樣的，到后面就遇到瓶頸了。

好了，在了解這些理論知識之后我們就可以來設(shè)計我們的濾波器，其實當(dāng)這些東西都掌握的差不多的時候，你會發(fā)現(xiàn)設(shè)計濾波器并不是很難

和FIR濾波器一樣，我先把濾波器要求說明一下，然后再按照設(shè)計要求進(jìn)行設(shè)計

四、IIR濾波器的matlab設(shè)計與FPGA實現(xiàn)

要求設(shè)計一個IIR低通數(shù)字濾波器，要求：：

1、 設(shè)計成切比雪夫II型濾波器

2、截止頻率為500hz，阻帶最小衰減為60db，采樣頻率為2000hz，，濾波器階數(shù)為7

3、合成信號為100，500，800hz的正弦信號的疊加

4、要求分別采用直接II型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)分別在FPGA上實現(xiàn)，并通過modelsim仿真出濾波后的100HZ正弦波

5、級聯(lián)結(jié)構(gòu)為了提高運(yùn)行速度采用流水線結(jié)構(gòu)設(shè)計

6、通過matlab對modelsim輸出的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，看是否符合要求

前面說過了，matlab為我們提供了IIR濾波器設(shè)計的工具箱，我們可以直接調(diào)用函數(shù)，就可以直接由濾波器指標(biāo)設(shè)計成數(shù)字濾波器

如上圖所示，我們直接調(diào)用cheby2型函數(shù)，送人濾波器設(shè)計指標(biāo)，直接就可以設(shè)計出符合要求的濾波器，可以說，就這么幾行代碼，一個濾波器就設(shè)計完成了。但是，我們不僅要設(shè)計出濾波器，還要實現(xiàn)它，并且是FPGA硬件實現(xiàn)，光有這些數(shù)據(jù)是不行的，上面設(shè)計的濾波器輸出如下

可以看到，這些數(shù)據(jù)是無法在FPGA上實現(xiàn)的，我們需要將他們量化，具體進(jìn)行多少bit的量化才可以設(shè)計出符合要求的濾波器，需要通過matlab仿真才知道。當(dāng)然，由上面的系數(shù)構(gòu)成的濾波器是理想濾波器，當(dāng)然他們的位數(shù)不僅僅是這幾位，是因為matlab顯示的原因，后面還有很多位數(shù)沒有顯示出來，要知道，我們是要將這些數(shù)據(jù)送到FPGA內(nèi)部的寄存器中進(jìn)行運(yùn)算的，不可能將所有位數(shù)都表示完整，只能表示個近似值，這就導(dǎo)致了有限字長效應(yīng)，使得實際濾波器與理想濾波器還是有些差別的，因此，我們需要將這些系數(shù)進(jìn)行量化，將量化后的濾波器系數(shù)求出幅頻響應(yīng)，與理想濾波器的幅頻響應(yīng)進(jìn)行對比，來確定量化位數(shù)

上圖就是通過仿真來確定濾波器的量化位數(shù)，函數(shù)QuantIIRDirectArith是用來計算實際情況下濾波器的單位脈沖響應(yīng)的，是人為編寫的函數(shù)，其中的算法我們可以不去深究，只知道輸入量化后的濾波器系數(shù)和需要濾波器輸出的位數(shù)，就可以計算出實際濾波器的輸出情況，與理想濾波器進(jìn)行對比，從而確定量化位數(shù)，這里仿真出來，當(dāng)量化位數(shù)為16的時候，波形就幾乎與理想情況吻合

對于系數(shù)的量化問題，這里也不能像FIR濾波器一樣直接進(jìn)行量化了，因為IIR濾波器不僅存在乘加運(yùn)算，還存在除法運(yùn)算。前面說了，IIR濾波器的輸出，可以看做是兩個FIR濾波器相減之后再除以系數(shù)a（0），這里的系數(shù)a（0） 就是極點(diǎn)系數(shù)的第一項，既然要除以這個系數(shù)，只要保證這個系數(shù)是2的整數(shù)次冪，就可以通過向右移位的方式來進(jìn)行相除。例如，經(jīng)過處理和量化之后，極點(diǎn)系數(shù)的第一項為1024，那么就相當(dāng)于把兩個FIR濾波器的運(yùn)算結(jié)果右移10位就好了

這也可以算是一種算法了，大家可以帶一個數(shù)進(jìn)去試試，就知道這種算法的原理了，經(jīng)過這種方式的量化后，我們得到的濾波器系數(shù)就變?yōu)?/p>

從這量化后的系數(shù)我們可以看出，零點(diǎn)部分完全就是一個FIR濾波器，極點(diǎn)部分還不太像，因為系數(shù)不對稱，這樣的話，我們有了濾波器的零極點(diǎn)系數(shù)，剩下的就是FPGA實現(xiàn)了。

對于FPGA的實現(xiàn)過程，零點(diǎn)部分完全和FIR濾波器的運(yùn)算過程相同，就是將輸入信號存入寄存器之后，對輸入信號進(jìn)行對稱系數(shù)累加，再分別與濾波器的零點(diǎn)系數(shù)進(jìn)行相乘，最后將結(jié)果相加輸出濾波器極點(diǎn)部分zero（n）

極點(diǎn)部分跟零點(diǎn)部分類似，只有一點(diǎn)稍微需要注意，由于IIR濾波器存在反饋結(jié)構(gòu)，濾波器的輸出也是極點(diǎn)部分的輸入。極點(diǎn)部分的累加相乘跟零點(diǎn)部分稍有不同，首先，極點(diǎn)部分不存在對稱結(jié)構(gòu)，因此不需要將輸入信號進(jìn)行對稱相加，只需要直接與極點(diǎn)系數(shù)相乘。還有就是，極點(diǎn)系數(shù)的第一項不參與相乘，因為他是輸出Y（n） 的系數(shù)，從第二項開始才進(jìn)行乘加運(yùn)算，例如pole_coe（1）*y（n-1） ， pole_coe（2）*y（n-2）。..。..。.

前面說過，零點(diǎn)部分與極點(diǎn)部分進(jìn)行減法運(yùn)算，結(jié)果再除以Y（n）的系數(shù)之后，就是IIR濾波器的輸出

在用FPGA實現(xiàn)IIR濾波器的時候要注意這幾點(diǎn)，我總結(jié)如下

1 、 首先要注意，不管是存儲數(shù)據(jù)的寄存器型變量還是線型變量都不要忘記定義成有符號型數(shù)據(jù)

2、 要注意字長問題，兩個N位數(shù)據(jù)相加，至少需要N+1位寄存器存儲結(jié)果才能保證結(jié)果不溢出，兩個N位數(shù)據(jù)相乘，至少需要2N位寄存去存儲，大部分情況下，2N-1位就可以了

3、最后的截尾處理，如果不能夠保證截取的位數(shù)能夠?qū)⑤敵龅臄?shù)據(jù)完整表示，可以考慮放棄精度，舍棄低位取高位。例如上面，假如我截取sum_div的0到15位不能夠表示IIR濾波器的輸出，也就是說有些IIR濾波器輸出的數(shù)據(jù)要大于2^15，因此，截尾的時候可以考慮截取1到16位作為結(jié)果，這樣做話相當(dāng)于降低了量化位數(shù)，精度降低了，但可以保證輸出正確幅度的波形

下面是將疊加信號進(jìn)行濾波后的輸出情況

五、級聯(lián)結(jié)構(gòu)的IIR濾波器的FPGA實現(xiàn)

其實在實際應(yīng)用中，應(yīng)用最廣泛的還是級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，因為這種結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)除了一個系數(shù)之外完全是由零極點(diǎn)構(gòu)成，而且占用資源少，速度快。

級聯(lián)結(jié)構(gòu)說白了就是幾個直接型結(jié)構(gòu)的IIR濾波器相乘罷了，有了直接型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，再來設(shè)計級聯(lián)結(jié)構(gòu)就很簡單了。

設(shè)計級聯(lián)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵一步就是如何將直接結(jié)構(gòu)的濾波器系數(shù)轉(zhuǎn)換為級聯(lián)結(jié)構(gòu)的系數(shù)，其實這也是一個算法問題，說實話這個算法我也沒看明白，就是通過一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算，將直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為了級聯(lián)結(jié)構(gòu)的系數(shù)

可以看到，我們設(shè)計好直接型結(jié)構(gòu)濾波器之后，直接調(diào)用轉(zhuǎn)換函數(shù)，就可以得到級聯(lián)結(jié)構(gòu)的濾波器系數(shù)，其中b0為增益系數(shù)，就是放在零點(diǎn)部分外面的那個系數(shù)。轉(zhuǎn)換函數(shù)是人為寫的，我也不太懂為什么是這樣轉(zhuǎn)換的，既然別人已經(jīng)做好了這種算法，我們實在看不懂的話就直接拿來用好了

函數(shù)Qcoe是量化函數(shù)，就是前面講過的，要將極點(diǎn)系數(shù)量化為2的整數(shù)次冪的量化函數(shù)。

經(jīng)過這樣的處理之后，就會得到了四個直接型結(jié)構(gòu)的IIR濾波器，每階IIR濾波器的計算方法都跟前面直接型濾波器的計算方法相同，這里不做解釋。

級聯(lián)型結(jié)構(gòu)在進(jìn)行FPGA實現(xiàn)的時候要注意每一階濾波器的輸出數(shù)據(jù)的位寬，即通過matlab仿真出每級濾波器輸出數(shù)據(jù)的最大值，算一下用多少位的寄存器才能表示這個數(shù)值，下面是合成信號依次通過各級濾波器，并計算每通過一級濾波器后的輸出位寬

合成信號每通過一級濾波器，就相當(dāng)于對信號進(jìn)行了一次濾波，通過仿真可以看到，每通過一級濾波器，輸出的信號更加趨于圓滑

級聯(lián)結(jié)構(gòu)的FPGA實現(xiàn)過程是比較費(fèi)勁的，因為要設(shè)計多級濾波器，雖熱每級濾波器的代碼都是直接型濾波器，但其中的零極點(diǎn)系數(shù)的運(yùn)算還是需要我們自己修改，而且還有仿真好每級濾波器的輸出是否正常。但是沒辦法，因為IIR濾波器幾乎沒有IP核可以調(diào)用，我們也只能手寫了

在進(jìn)行零極點(diǎn)系數(shù)乘積運(yùn)算的過程中，我們一方面可以調(diào)用乘法器來進(jìn)行運(yùn)算，另一方面可以利用移位的方式進(jìn)行乘法運(yùn)算

例如上圖，474可以分解成幾個2的整數(shù)次冪的形式的累加形式，因此，可以通過移位的方式實現(xiàn)乘法運(yùn)算

采用級聯(lián)方式實現(xiàn)FPGA的過程要注意的是每級濾波器的輸出位數(shù)，保證每級濾波器的輸出數(shù)據(jù)沒有溢出，其他地方都跟直接型類似

至于采用流水線結(jié)構(gòu)實現(xiàn)級聯(lián)結(jié)構(gòu)，就是在每級濾波器的輸出部分加一個寄存器，每來一個時鐘將數(shù)據(jù)輸出，這一點(diǎn)很簡單了，想必能看到這里的朋友對FPGA這點(diǎn)技巧還是很了解的。

下面是modelsim仿真輸出的各級濾波器的波形，與matlab仿真結(jié)果相比幾乎相同，證明我們的結(jié)果是正確的

原文標(biāo)題：零基礎(chǔ)學(xué)FPGA（三十） IIR數(shù)字濾波器的FPGA實現(xiàn)筆記

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