Power system short-term load forecast by Kalman filter

Li Ming-gan, Sun Jian-li, Liu Pei

(Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China)

　　Abstract: Kalman filter algorithm is introduced in this paper firstly, and a set of formula is presented. Then Kalman filter model is used in short-term load forecast. And the model is revised by a approach aims at the specialty of load forecast. Application of these algorithms gains preferably results.
　　Key words: Kalman filter; power load forecast; forecast model

0 前言
　　短期負(fù)荷預(yù)測(cè)是電力系統(tǒng)運(yùn)行調(diào)度中一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，它是電網(wǎng)安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的前提，也是調(diào)度安排開停機(jī)計(jì)劃的基礎(chǔ)，對(duì)電網(wǎng)調(diào)度自動(dòng)控制非常重要，其預(yù)測(cè)精度直接影響電力系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效益。隨著電力改革的深化，電力市場(chǎng)的進(jìn)一步開放，高質(zhì)量的短期負(fù)荷預(yù)測(cè)愈顯得重要和迫切。
　　負(fù)荷預(yù)測(cè)的方法較多，傳統(tǒng)的方法有回歸分析法[1]和最小二乘法[2]等，這些方法算法比較簡(jiǎn)單，技術(shù)成熟，但因其模型過于簡(jiǎn)單，難以將電力系統(tǒng)運(yùn)行過程中負(fù)荷變化的新的信息反映到模型中去，因而預(yù)測(cè)精度不盡如人意。近年來人們不斷致力于將新的理論與方法應(yīng)用于負(fù)荷預(yù)測(cè)，并取得了很大進(jìn)展，提出了混沌模型方法[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBF）[4]、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[5]、專家系統(tǒng)方法[6]等。這些方法取得了比傳統(tǒng)方法更好的預(yù)測(cè)結(jié)果。
　　卡爾曼濾波（KF）是Kalman于1960年提出的，是采用狀態(tài)方程和觀測(cè)方程組成的線性隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型來描述濾波器，并利用狀態(tài)方程的遞推性，按線性無(wú)偏最小均方差估計(jì)準(zhǔn)則，采用遞推算法對(duì)濾波器的狀態(tài)變量做最佳估計(jì)，從而求得慮掉噪聲的有用信號(hào)的最佳估計(jì)。卡爾曼濾波理論不僅有濾波器模型，它還有預(yù)報(bào)器模型[7]，通過對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)觀測(cè)序列的預(yù)報(bào)，因此卡爾曼濾波適合于短期負(fù)荷預(yù)測(cè)。
　　將卡爾曼濾波用于短期負(fù)荷預(yù)測(cè)在國(guó)外已有研究，M.Huelsemann, M.D. Seiser等人1998就對(duì)用卡爾曼濾波和自相關(guān)進(jìn)行負(fù)荷預(yù)測(cè)進(jìn)行了探討[8]，提出了用卡爾曼濾波進(jìn)行負(fù)荷預(yù)測(cè)的思路，取得了理論上的突破。隨后，Ngan, H.W. 等人也對(duì)此方法進(jìn)行了探討[9]，并取得了一定的進(jìn)展。國(guó)內(nèi)，雖有將卡爾曼濾波其他方面的預(yù)測(cè)，但用于負(fù)荷預(yù)測(cè)研究的尚屬初探。筆者利用卡爾曼濾波理論建立了電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測(cè)模型，利用歷史數(shù)據(jù)中的負(fù)荷數(shù)據(jù)和氣象數(shù)據(jù)等相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行了短期負(fù)荷的預(yù)測(cè)。

1 卡爾曼濾波模型簡(jiǎn)介
　　考慮線性離散時(shí)間系統(tǒng)：
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式中：x是n維狀態(tài)變量，Φ(t+1,t)是n×n的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，B(t)是n×r的輸入噪聲轉(zhuǎn)移矩陣，w(t)是p維的輸入噪聲；y(t)是m維的測(cè)量向量，H(t)是m×n維測(cè)量矩陣，v(t)是m維的測(cè)量噪聲。
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式中：E表示數(shù)學(xué)期望，p×p階的輸入噪聲協(xié)方差陣Q(t)是對(duì)稱正定的；m×m階的測(cè)量噪聲協(xié)方差陣R(g)是對(duì)稱正定的。
??? 又設(shè)初始狀態(tài)x(0)獨(dú)立于w(t)和v(t)，且已知其統(tǒng)計(jì)特性為：
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??? 詳細(xì)推導(dǎo)過程見[7]。

2 卡爾曼濾波負(fù)荷預(yù)測(cè)模型
??? 以連續(xù)若干天的同一時(shí)刻作為一組時(shí)間序列，來預(yù)測(cè)該時(shí)刻的下一個(gè)負(fù)荷值。通常，負(fù)荷值可以分為幾個(gè)部分：
　
刻的基本負(fù)荷，Lpk(t)為前一天同時(shí)刻的的負(fù)荷值，LTk(t)為該時(shí)刻的氣溫，Vk(t)為誤差，HNk(t)、HPk(t)、HTk(t)均為參數(shù)矩陣。由于預(yù)測(cè)的是某個(gè)時(shí)刻的值，所以式中的各個(gè)量都是一維的。
　　為方便應(yīng)用卡爾曼濾波理論進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)，特作如下變換：
　
式中：yk(t)是觀測(cè)值，Hk(t)為觀測(cè)矩陣，Φk(t)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Wk(t)為狀態(tài)誤差。由于在本文中狀態(tài)變量是連續(xù)若干天的同一時(shí)刻的溫度，它在短期的負(fù)荷預(yù)測(cè)中可以看成是緩變狀態(tài)，因此可令Φk(t)=I,I為單位陣。
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2．1改進(jìn)模型
??? 在實(shí)際預(yù)測(cè)過程中，一般可以提供預(yù)測(cè)時(shí)刻的氣溫預(yù)報(bào)值，或者通過幾個(gè)點(diǎn)的預(yù)報(bào)值通過插值獲得其他點(diǎn)的氣溫值。本文提出了預(yù)測(cè)值修正方法，即在此預(yù)測(cè)值的基礎(chǔ)上加上溫度修正值的負(fù)荷預(yù)測(cè)方法。
??? 設(shè)待預(yù)測(cè)的第(t+1)天時(shí)刻負(fù)荷的卡爾曼濾波預(yù)測(cè)值為yk(t+1|t)，該時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值為L(zhǎng)TK(t+1|t),，而該預(yù)測(cè)時(shí)刻的氣溫預(yù)報(bào)值為Tk。狀態(tài)估計(jì)值是卡爾曼濾波器通過歷史負(fù)荷得到的對(duì)系統(tǒng)下一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)的最佳估計(jì)，而預(yù)報(bào)獲得的系統(tǒng)的新的狀態(tài)值則反映了系統(tǒng)的未來狀態(tài)，因此他們的組合能夠讓預(yù)測(cè)模型獲得更多的信息，從而得到更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)值。為利用此信息，可以對(duì)預(yù)測(cè)得到的值進(jìn)行修正，即在[Tk-LTK(t+1|t)]前乘以一個(gè)修正系數(shù)，即：
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式中:bk為修正系數(shù)，可以通過試驗(yàn)獲得，yk(t+1)為該時(shí)刻修正后的負(fù)荷預(yù)測(cè)值。

3 短期負(fù)荷的預(yù)測(cè)實(shí)例
??? 用卡爾曼濾波以及改進(jìn)后的模型對(duì)武漢地區(qū)電力負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測(cè)實(shí)例計(jì)算。在實(shí)踐中初始狀態(tài)xk(0|0)，Pk(0|0)很難準(zhǔn)確掌握。但由于卡爾曼濾波在遞推過程中不斷用新的信息對(duì)狀態(tài)進(jìn)行修正，所以當(dāng)濾波時(shí)間充分長(zhǎng)時(shí)，狀態(tài)初值xk(0|0)對(duì)xk(t+1|t)的影響將衰減至近于零，初始協(xié)方差陣Pk(0|0)對(duì)濾波估計(jì)協(xié)方差陣Pk(t+1|t)的影響也將衰減至于零。因此，濾波的初始條件可以近似確定。
??? 每一次遞推運(yùn)算中，要先求出預(yù)測(cè)值xk(t+1|t)，然后根據(jù)預(yù)測(cè)值計(jì)算出預(yù)測(cè)誤差的方差Pk(t+1|t)，由最佳濾波規(guī)則計(jì)算卡爾曼增益Kk(t+1)，經(jīng)過卡爾曼增益的誤差補(bǔ)償后獲得最佳濾波值xk(t+1)，再由預(yù)測(cè)方程計(jì)算負(fù)荷預(yù)測(cè)值。
??? 其中溫度參數(shù)在待預(yù)測(cè)天以前由歷史數(shù)據(jù)獲得，并對(duì)其進(jìn)行濾波估計(jì)，而待預(yù)測(cè)天的溫度則由當(dāng)天的溫度預(yù)報(bào)獲得。
??? 引入誤差指標(biāo)：
??? 相對(duì)誤差：
　
??? 應(yīng)用卡爾曼濾波模型以及改進(jìn)后的模型對(duì)武漢地區(qū)的電力負(fù)荷進(jìn)行實(shí)際預(yù)測(cè)，隨意抽取某一天的預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差見下圖(1)、(2)、(3)、(4)。

　　圖1是該天24小時(shí)的卡爾曼濾波預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較，圖2是24點(diǎn)的卡爾曼濾波的預(yù)測(cè)誤差，其平均絕對(duì)相對(duì)誤差為3.43％，圖3是用改進(jìn)的算法計(jì)算該天24小時(shí)的負(fù)荷值與實(shí)際值的比較，圖4為改進(jìn)后的算法的24點(diǎn)的相對(duì)誤差，其平均絕對(duì)相對(duì)誤差為2.94％，由此可見，改進(jìn)算法是有效的。

4 小結(jié)
　　本文運(yùn)用卡爾曼濾波理論建立了短期負(fù)荷預(yù)測(cè)模型，并進(jìn)行短期負(fù)荷預(yù)測(cè)，通過算例證實(shí)了卡爾曼濾波模型預(yù)測(cè)的可行性。同時(shí)針對(duì)負(fù)荷預(yù)測(cè)的特點(diǎn)，通過對(duì)卡爾曼濾波算法的改進(jìn)，提高了預(yù)測(cè)的精度。
　　由于卡爾曼濾波器在遞推過程中不斷用新息對(duì)狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行修正，所以卡爾曼濾波是漸進(jìn)穩(wěn)定的，當(dāng)時(shí)間序列足夠長(zhǎng)時(shí)，初始狀態(tài)的狀態(tài)值、協(xié)方差陣對(duì)估計(jì)的影響都將衰減為零。所以卡爾曼濾波模型能夠不斷更新狀態(tài)信息，獲得比較準(zhǔn)確的估計(jì)值。此方法不僅可以用于短期預(yù)測(cè)，同樣可以用于超短期負(fù)荷預(yù)測(cè)。